Золотий переріз
Й. Кеплер
З давніх-давен людина прагне оточувати себе гарними речами.
Краса скульптури, краса храму, краса картини, симфонії, поеми ... Що між ними спільного? Хіба можна порівнювати красу храму з красою ноктюрну? Виявляється можна, якщо будуть знайдені єдині критерії прекрасного, якщо будуть відкриті загальні формули краси, що поєднують поняття прекрасного самих різних об'єктів – від квітки ромашки до краси оголеного людського тіла.
З багатьох пропорцій, якими здавна користувався людина при створенні гармонійних творів, існує одна, єдина і неповторна, що володіє унікальними властивостями. Цю пропорцію називали по різному – "золота", "божественна", "золотим перетином", "золотим числом", "золотою серединою".
Золотий переріз протягом тисячоліть привертав увагу і був предметом захоплення видатних вчених, математиків і філософів Піфагора, Платона, Евкліда, Леонардо да Вінчі, Луку Пачіолі, Кеплера та інших.
Леонардо Пізано Фібоначчі
З історією золотого перерізу непрямим чином пов’язане ім’я італійського математика-ченця Леонарда з Пізи. Леона́рдо Піза́нський (Leonardo Pisano), більш відомий як Фібоначчі, – італійський математик, який розглянув ідею так званих чисел Фібоначчі і вважається одним з найвидатніших західних математиків Середньовіччя. Найбільший інтерес становить праця Фібоначчі «Книга абака», де він описав послідовність Фібоначчі. Ця праця містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу, вона відіграла значну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Саме за цією книгою європейці знайомилися з арабськими цифрами.
Задача про кролів
Скільки пар кролів народиться за рік від однієї пари, якщо кожна пара дає щомісяця приплоду по одній парі, яка в свою чергу здатна до розмноження через один місяць (за умови, що жодна пара не загине)?
У середньовічній загадці з кроликами, яку загадав Фібоначчі, криється містична послідовність чисел. Ясно, що якщо вважати першу пару кроликів новонародженими, то на другий місяць ми будемо як і раніше мати одну пару; на 3-й місяць – 1 + 1 = 2; на 4-й – 2 + 1 = 3 пари (бо з двох наявних пар потомство дає лише одна пара); на 5-й місяць – 3 + 2 = 5 пар (лише 2 народилися на 3-й місяць пари дадуть потомство на 5-й місяць); на 6-й місяць – 5 + 3 = 8 пар (бо потомство дадуть тільки ті пари, які народилися на 4-му місяці) і так далі. Таким чином, якщо позначити число пар кроликів, наявних на n-му місяці через Fn, то F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21 і так далі, причому утворення цих чисел регулюється загальним законом: Fn = Fn-1 + Fn-2 при всіх n> 2, адже число пар кроликів на n-му місяці дорівнює числу Fn-1 пар кролів на попередньому місяці плюс число знов народилися пар, що збігається з числом Fn-2 пар кроликів, народжених на (n-2)-му місяці (бо лише ці пари кроликів дають потомство).
Числа Fn, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність – послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що, починаючи з 1,1, наступне число виходить складанням двох попередніх. Послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення іppаціональне і являє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.
Цей ряд має дивовижну властивість: якщо ділити число цієї послідовності на наступне, ми будемо асимптотично наближатися до ірраціонального числа 1,618, що виражає пропорцію “золотого перерізу”. Багато цікавого в ариф¬метиці чисел Фібоначчі. Кожне третє число Фібонач¬чі парне. Кожне четверте ділиться на три, кожне п’ятнадцяте закінчується нулем.
Золотий коефіцієнт
Число Ф (фi), яке дорівнює 1,618, називають золотим коефiцiєнтом, або числом Фiдiя (давньогрецький скульптор). У числах Фiбоначчi 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… якщо розглянути відношення 8 : 5 = 1,6; 13: 8 = 1,625; 21 : 13 = 1,615…; 55 : 34 = 1,6176…; 89 : 55 = 1,618..., то можна помітити, що, чим бiльшi числа, які ми ділимо, тим ближче ми підходимо до числа 1,618 – золотого коефiцiєнта. Коефiцiєнт 1,618 зустрічається не тільки в задачах про золотий поділ та числах Фiбоначчi, а й у найнесподiванiших місцях. Можна навести два чудові математичні вирази – представлення «золотого коефiцiєнта».
У вигляді ланцюгового дробу
У «радикалах»
Нескінченне повторення одних i тих самих елементів у виразах викликає почуття ритму та гармонії.
Золотий прямокутник
Прямокутник відношення сторін якого 1,618 називається золотим.
Він має цікаві властивості.
Якщо від нього відрізати квадрат, знову утвориться золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності.
А, якщо провести діагональ першого і другого з отриманих прямокутників, то точка їх перетину буде належати всім прямокутникам. Стародавні греки вважали, що прямокутники, довжини сторін яких утворюють відношення золотого перерізу, найприємнiшi для ока.
Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за правилом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам, книжкам (коли це, звичайно, не суперечить вимогам практики).
Золотий трикутник
Золотий переріз зустрічається i в «золотому» рівнобедреному трикутнику з кутом 36º при вершині, а 72º при основі.
П’ятикутна зірка
П’ятикутна зірка завжди привертала увагу людей своєю досконалістю. Пiфагорiйцi, учні школи Піфагора, вибрали символом свого союзу саме цю зірку. Вона вважалась у них амулетом здоров’я.
Це єдина геометрична фігура, у якій без винятку вiдрiзки п’ятикутника i його діагоналей утворюються із сусiднiх або множенням, або діленням на коефiцiєнт золотого перерізу. Вона немов виткана із золотих коефiцiєнтiв i є втіленням загадки iррацiонального числа.
Цю фігуру пiфагорiйцi називали пентаграмою. Усередині п’ятикутника знаходиться зірка, усередині зірки — п’ятикутник, у ньому знову зірка i т. д.
Архітектура
Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать про те, що єгипетські майстри використовували властивість золотого перерізу при їх створенні. Відношення сумарної зовнішньої площі піраміди до площі основи дорівнює золотій пропорції! Це і є головною геометричною таємницею піраміди Хеопса!
Найкрасивiший витвiр давньогрецької архiтектури – Парфенон, був побудований у V столiттi до н. е.. У фасаді давньогрецького храму Парфенону присутні золоті пропорції. Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгим. Виступи зроблені цілком з квадратів мармуру. Благородство матеріалу, з якого побудований храм, дозволило обмежити застосування звичайної в грецькій архітектурі розмальовки, вона тільки підкреслює деталі і утворює кольоровий фон (синій та червоний) для скульптури. Відношення висоти будівлі до його довжини дорiвнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенона по "золотому перетину ", то отримаємо ті чи інші виступи фасаду.
При розкопках Парфенону виявлені циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого поділу.
Золотий поділ, що використовувався при будівництві пірамід, присутній у західноєвропейському та російському архітектурному мистецтві.
Лука Пачоллі був справжнім світилом, найвидатнішим математиком Італії у період між Фібоначчі й Галілеєм. Лука Пачоллі був учнем художника П’єро Делла Франческі. Його вважають творцем нарисної геометрії.
В 1509 році у Венеції видана книга видатного вченого Луки Пачоллі “Божественна пропорція” з ілюстраціями Леонардо да Вінчі, в якій автор наводить 13 властивостей золотого перерізу. Книга була захопленим гімном золотій пропорції.
Живопис
В 1502-1506 році Леонардо да Вінчі написав найзнаменитішу свою картину – портрет Мони Лізи, дружини мессера Франческо дель Джокондо. Довгі чотири роки, 10000 годин з лупою в руках Леонардо створював свій шедевр, наносячи пензликом мазки величиною 1/20, 1/40 мм.
Леонардо да Вінчі багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п’ятикутниками, і щораз одержував прямокутники з відношеннями сторін у золотому поділі. Тому він дав цьому поділу назву «золотий переріз». Дослідники. що вивчали картину, встановили, що композиція малюнка заснована на "золотих трикутниках" (точніше на трикутниках, що є частинами пентаграми).
"Золота" спіраль у картині Рафаеля "Побиття немовлят “. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, - уздовж фігур дитини, жінки, що притискує його до себе, воїна з занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи в правій частині ескізу. Якщо природним чином з'єднати ці шматки кривої пунктиром, то з дуже великою точністю виходить ... золота спіраль!
На знаменитій картині І. І. Шишкіна «Корабельний гай» з очевидністю проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (що стоїть на першому плані) ділить довжину картини по золотому перетину. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорок. Він ділить по золотому перетину праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен - при бажанні можна з успіхом продовжити поділ картини по золотому перетину і далі.
Природа
Колиска людства — природа. І своє натхнення для створення вічних шедеврів люди знаходили в природі. Краса й гармонія природи — це вічний пошук істини, в основі якого лежить закон «золотого» пе¬рерізу.
Ботаніка
Квітки й насіння соняшника, ромашки, лусочки в плодах ананаса, хвойних шишках «упако¬вані» по логарифмічних («золотих») спіралях, які завиваються назустріч одна одній, причому числа «правих» і «лівих» спіралей завжди відносяться одне до одного, як сусідні числа Фібоначчі (13:8, 21:13, 34:21, 55:34), межею послідовності яких є золота про¬порція.
Для багатьох квіткових рослин характер¬на пентагональна симетрія, яка відповідає пропорціям «золотого» перерізу. Квіти: шипшини, китайської тро¬янди, груші, черемшини, гвоздики, персика, абрикоса, яблуні, пасльонових.
Розглядаючи розташування листкiв на спiльному стеблi рослин (цикорiй) можна помiтити, що мiж кожними двома парами листкiв третя пара розташована в мiсцi золотого перерiзу. Листки на стеблі розташовуються в суворому порядку, який носить математичний характер і називається філо¬таксис.
Суть філотаксиса полягає у гвинтовому розташу¬ванні листків на стеблі рослин. Саме за такого роз¬ташування листків досягається максимум припливу сонячної енергії до рослини.
Зоологія
«Квітами, які пурхають» називають ме¬теликів — цих дивних створінь природи. У багатьох метеликів співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотий пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто розвести крила, і ви побачите той же принцип членування тіла на 2,3,5,8.
Бабка виглядає настільки досконалою, адже вона створена за законами золотої пропорції: співвідношення довжин хвоста й корпуса дорівнює співвідношенню загальної довжини до до¬вжини хвоста. Прозорі крила бабок — це шедевр «інженерної» майстерності природи.
Закон золотого перерізу виявляється у спіралях, які є важливим елементом природи.
Молюски — відмінні зодчі й математики. Їх вапняні спорудження міцні, ажурні, побудовані математично строго закономірно, за чітким планом. Кожна відстань між завитками дорівнює сумі двох наступних (у напрямку до полюса). Раковини деяких сучасних молюсків мають форму логарифмічної спіралі.
В ящірки з першого погляду вловлюють¬ся приємні для нашого ока пропорції — довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.
Великий інтерес становить дослідження форм пташиних яєць. Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції.
Людина
Найголовнiше, що коефiцiєнт 1,618 присутнiй у самiй людинi. На малюнку зображено знамениту скульптуру Аполлона Бельведерського – бога краси i мистецтва, виконану грецьким скульптором Леохаром (4 ст. до н. е.). Лiнiя талiї подiляє фiгуру Аполлона точно у вiдношеннi золотого перерiзу. Красу людинi надає лiнiя талiї, лiнiя лiктiв, лiнiя ключиць, лiнiя кiнчикiв пальцiв i т. д., а всi цi лiнiї проходять через точки золотого перерiзу.
Отже, золотий подiл — це мiра краси та гармонiї. Еталонами краси людського, зразками гармонійного статури здавна і по праву вважаються великі твори грецьких скульпторів: Фідія, Поліклета, Мирона, Праксителя. У своїх творіннях грецькі майстри використовували принцип золотої пропорції.
Одним з вищих досягнень класичного грецького мистецтва може служити статуя "Дорифора", виліплена Поликлетом. Створена близько 450-440 років до н. е. Фігура юнака висловлює єдність прекрасного і доблесного, що в основі грецьких принципів мистецтва. Статуя сповнена спокійної впевненості, гармонія ліній, врівноваженість частин уособлюють могутність фізичної сили. Широкі плечі майже дорівнюють висоті тулуба, висота голови вісім разів укладається у висоті тіла, а золотий пропорції відповідає положення пупка на тілі атлета. Оригінал статуї не зберігся. Існують численні копії Дорифора.
Альбрехт Дюрер розробив теорію пропорцій людського тіла. Важливе значення у своїй системі співвідношень він надавав золотому перерізу. Pіст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук.
Поділ тіла точкою пупа – важливий показник золотого перерізу.
Золоті пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього співвідношення 13 : 8 = 1,625 і дещо ближчі до золотого поділу ніж пропорції жіночого тіла, що відносяться 8 : 5 = 1,6. У жінок спостерігається відхилення від норм золотого перерізу, а взуття на високих підборах «відновлює» пропорцію й принцип золотого перерізу тріумфує.
Пропорції золотого перерізу присутні і в інших частинах людського тіла. Зіставляючи довжини фаланг пальців і кисті руки в цілому, а також відстані між окремими частинами обличчя, також можна знайти «золоті» співвідношення.
Американський фізик, лауреат Нобелівської премії Фейнман прийшов до висновку, що наука не дає дійсної картини світу, тому що являє собою набір різних дисциплін, не пов'язаних одна з одною. Дехто впевнений: настав момент, коли золотий переріз повинен зайняти своє лідируюче місце в єдиній науці майбутнього.
В основi краси Всесвiту лежать пропорцiї та одна з чудових властивостей – золота пропорцiя. Золота пропорцiя пов’язана iз золотим коефiцiєнтом – числом. А це iррацiональне число. Отже, красою Всесвiту керують iррацiональнi числа.
Золота пропорцiя — це досконалiсть у вiдношеннi цiлого та його частин i тому обумовлює гармонiю Всесвiту. Золота пропорцiя — це закон краси, який описує математика.
«Золоте» правило духовності – стався до людей так, як би ти хотів, щоб вони ставилися до тебе.
Золоте співвідношення:
Bідомий малюнок Леонардо да Вінчі „Вітрувіанська людина”, який названо на честь Маркуса Вітрувія, геніального римського архітектора, котрий прославляв число“ФІ” і використовував “золотий переріз” у своїх витворах. На ньому зображена фігура оголеного чоловіка в двох накладених одна на іншу позиціях: з розведеними в сторони руками і ногами, вписана в коло; з розведеними руками та зведеними разом ногами, вписана в квадрат. Малюнок і пояснення до нього іноді називають канонічними пропорціями.
